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作者：老喻在加

来源：孤独大脑（ID：lonelybrain）

01

要么倍，要么赔光

即使你处在一场非常有利的对赌中，你也可能输掉赌局，原因不是因为运气中不可控制的不确定性，而正是你可以控制的部分：

下注方式。

《算法之美》里，在讲到“见好就收的时机”这个话题时，提到一个“要么三倍，要么赔光”的博弈游戏，规则如下：

游戏规则对轮次没有限制，但是要求你每次都要押上所有的钱；

你有50%的机会赢回三倍的钱，另外50%的机会全部赔光。

请问：你应该参与多少轮呢？

假如你的押注金额是a，我们可以计算下注的期望值如下：

赢：a×50%×4=2a

输：a×50%×-1=-0.5a

所以，期望值=2a-0.5a=1.5a

作者举这个例子，是想讲与计算机算法有关的“最优停止准则”。

这个问题看起来非常简单，但没有合适的最优停止准则。为什么呢？书中分析如下：

因为每参加一轮游戏，你的平均收益都会略有增加。

假设你带着1美元去玩这个游戏。从1美元开始，你有一半机会赢回3美元，一半机会收回0美元，平均而言，第一轮结束之后，你装进口袋的现金期望值是1.5美元。

有投资经验的人马上会说：我怎么可能每次都Allin呢？

首先我不可能把本钱全押上去，其次，每次赢了我都会留下一部分利润，然后再押上去。

现实果然如此吗？

难道我们经常听到的，不都是背水一战的传奇故事？我们听见著名企业和著名投资人，不总是在说：

Allin！全押！

那些流传于朋友圈的成功人士信誓旦旦地公布自己的发财秘密：

要么倍，要么赔光。

02

危险的过山车

“全押型”的人，在较短的某个周期内，有可能会成为赚钱速度最快的人。后面我们会在一个图表里用数据对比来说明。

不仅如此，尽管我们都以为自己是理性的、小心翼翼的人，也经常不自觉地陷入“全押”的境地。

更何况，在巨大利益摆在眼前触手可及时，几乎人人都想押上手上所有的赌注，这时候，不全押，才是反人性的。

年，伊朗武装人员攻击了美国驻德黑兰大使馆，将52名美国人扣为人质。

电影《逃离德黑兰》再现了当时的惊心动魄

在恐慌氛围中，精明的生意人看到了债务危机和通胀风险。一名叫邦克的富翁一直在购买大宗商品，尤其是白银。

他最初是以约1.29美元一盎司的价格买入白银，以对冲通胀风险。随着通胀率和银价上升，他不断买入白银，直到价格达到10美元。

多年以后，达里欧感慨万千地讲述了这个故事：

我告诉他，我觉得可能是时候退出了，因为美联储已采取更保守的态度，准备将短期利率提高到长期利率之上（这种情况又名为“收益率曲线倒挂”）。每当发生这种情况时，对冲通胀的资产价格都会下跌，经济都会下滑。

邦克有来自中东的“内幕消息”，那里的石油生产商也在买入白银，所以他不仅没有退出，反而继续买入。

他的判断似乎是对的，年年初，银价已上涨到接近50美元，一直都是富翁（达里欧称他是当时的世界首富）的邦克更是富得流油。

然而在年3月，银价暴跌开始，一直跌到11美元以下。

这给邦克造成了毁灭性打击，他破产了。

“上山容易下山难”的谚语可以用在投资领域：

上车容易下车难。

不管这辆车是通往天堂，还是地狱。

03

“全押型”人格

我们这个时代的英雄们，几乎都贴有“背水一战、孤注一掷”等标签，尤其是那些生意场上的幸运者。

对于失败的人，我们一笑了之；对于成功的人，我们奉为神明。

在全民创业社会，“全押型”人格备受推崇。

我们迷恋以小博大、逆袭、改变命运、一步登天。如果不Allin，怎么可能？

用所有的钱去砸央视的广告，一炮而红；90%负债率激进拿地，赌对国运；卖房创业，一举成为独角兽。

如此种种，周而复始。

团贷网的创始人，发小财，破产；再发小财，掏光口袋里的两百多万，换得与商界大亨吃顿饭，搭上关系，再玩儿一把大的，冲到百亿，然后爆掉。

暴风影音，曾经连续34个涨停板，创始人冯鑫身家过百亿。大了当然想更大，于是瞄准了拥有“英超、意甲”体育版权的公司MPS，收购价50亿。（案例来自《“赌徒”暴风影音的致命时刻》。）

身家百亿，现金不多。好在有“以小博大”，方案巧妙：

暴风出2亿，光大出资万元，冯鑫的基金公司募资50亿元，收购MPS；

一年半内暴风上市公司“接盘”MPS，基金公司则完成退出。

当时的股市气势如虹，大家都说要破万点，两三百亿市值的公司，毫不怀疑自己要过千亿。何况装进“英超、意甲”？

于是便没有人留意下面的附加条件：

以小博大的组局者，必须为其他人的收益兜底。

如果亏损，优先级合伙人们作为债权人，要优先收回投资。

加杠杆的发起者，必须偿还可能远远大于自身投资额的债务。

现在再看这些条件，觉得既荒唐又不要命。但是，当时大家都势在必得，一切顺理成章，哪里有不冒险的发大财的机会？而且这个风险也不会太大，毕竟“冯鑫身家过百亿”啊。

为大概率事件下注，本没有错。但这个“大概率”可能是错误假设。

更加错上加错的，是下注的方式。

下注的时候，要计算成功和失败的概率，计算期望值，然后根据自己的赌本来决定下注金额。

上面这几件事，冯鑫全都没做。结果：

1、收购公司的成功概率并不高。MPS创始人套现走人，两年半公司就破产清算了。这显然是个小概率成功的事情；

2、失败的代价太大。冯鑫旗下子公司暴风投资作为普通合伙人，要承担无限连带责任。

3、亿身家是个虚值，不能视为赌本。50亿的一次性赌注太大了。

04

“赌博”的基本常识

让我们先温习一下赌博的基本常识。

常识1：你应该押注于大概率成功的事情；

常识2：上面说得不对，你应该押注于“期望值是正”的事情。

尽管非常简单，但现实中，只有不到10%的人懂得（并不精确的）常识1。

这10%里又只有1%的人懂得常识2。

大概率事件

关于常识1，假如你和别人用硬币赌输赢，押一块钱，赢了就赚一块钱。因为有内幕消息，你知道正面获胜的概率是51%，所以你应该每次都押正面。

发挥魔力的是大数定律。但大数定律在短时间内可能是不靠谱的，何况你的概率优势本来就不算太大，所以你可能输输赢赢，甚至输多赢少。

只有把时间拉长，“大数”会一点点逼近51%。

即使你连扔了10次反面，也没什么好意外的。

假如你的内幕消息靠谱的话，下一次你还是要押注于51%的正面。

那么是否存在一种力量在挽回这10次反面呢？假如你细想的话，的确会有这样的感觉：后面必须有更多的正面，才能实现51%。这股神秘力量会不会破坏了下一次抛硬币所拥有的51%概率？

并非如此，大数定律是靠更多的样本量，来稀释了那10次看起来很不应该的“反面事件”，以令统计结果逼近于51%。

“我不会改变你，但我会在我的世界里把你稀释掉。”

正期望值

常识2：你应该押注于“期望值是正”的事情。

“用亏损的概率乘以可能亏损的金额，再用盈利概率乘以可能盈利的金额，最后用后者减去前者。这就是我们一直试图做的方法。这种算法并不完美，但事情就这么简单。”

巴菲特的这段话完美地解释了期望值。

举例：（来自高盛前CEO鲁宾的传记）

两家公司宣布合并，A公司股价为30.5美元；

若成功，股价可能上涨3美元；

若失败，每股下跌6美元左右。

我们把合并成功的可能性定为大约85%，失败的可能性为15%。在预期价值的基础上，股价可能上涨的幅度是3美元乘以85%，而下跌的风险是6美元乘以15%。

3美元×85%=（可能上涨）2.55美元

-6美元×15%=（可能下跌）-0.9美元

所以，预期价值=1.65美元

这1.65美元就是我们希望通过把公司30.50美元资本搁置三个月所得到的收益。这就算出了可能的回报率为5.5%，或者以年度计算的话为22%。比这样的回报率再低一些就是我们的底线。我们认为不值得为了低于20%的年回报率而支付我们公司的资本。

鲁宾特别解释道，这就是他每天要做的事情，看起来似乎是赌博，而且的确也经常会输掉。但他要确保的，是大多数时候赚钱。

小概率，但是“期望值”为正

塔勒布在投资研讨会说：“我相信下个星期市场略微上涨的概率很高，上涨概率大概70%。”但他却大量卖空标准普尔指数期货，赌市场会下跌。他的意见是：市场上涨的可能性比较高（我看好后市），但最好是卖空（我看坏结果），因为万一市场下跌，它可能跌幅很大。

分析如下：

假使下个星期市场有70%的概率上涨，30%的概率下跌。

但是如果上涨只会涨1%，下跌则可能跌10%。

未来预期结果是：70%×1%+30%×（-10%）=-2.3%。

下跌的概率较小，但是下跌的期望值是正的（上面是用负数来表示下跌），因此应该赌跌，卖空股票盈利的机会更大。

即使是在一群职业投资者的研讨会上，也有人觉得塔勒布的“算法”很怪。

这就是我说，为什么只有不到千分之一的人，懂得常识2。

05

“下注”的公式

几乎所有号称可以战胜赌场、战胜股市的数学公式，都是假的。

即使是“凯利公式”，也饱受争议。

我必须提前强调一点：

当胜率（期望值）为0或者负值时，凯利系统要求不要下注。

但赌场怎么可能让赌客的胜率更高呢？

这意味着，在正常的赌场，凯利公式是没用的。

这不就是说别赌了吗？

那我们为什么还要凯利公式？

这要从几个改变了世界的非正常人类说起。

在上个世纪50年代，三个旷世怪人相逢了。

简而言之，一个有机会拿到诺贝尔经济学奖的数学家索普，冒着被黑社会暴打的危险，一心想要战胜赌场，结果他还真搞成了，在21点游戏里发现了一个“必胜系统”。

但即使如此，还是有可能输钱的。索普还需要另外一件兵器。

于是，天才云集的贝尔实验室里第一聪明的香农，把第二聪明的凯利介绍给了“疯癫的”索普。

凯利公式最初是凯利根据香农在长途电话线噪声上的研究所建立的。

凯利是这样描述他的想法的：

一个“有内幕消息的赌徒”可以提前知道棒球赛或者赛马的结果。这些消息或许不是百分之百可靠，但足以让下注者占尽先机。下注者能够按照正常的“公平”赔率进行下注。《赌神数学家》

凯利提出的问题是：

下注者应该如何使用这份内幕消息？

这是一个基于概率的计算。在概率论中，该公式被这样定义：

凯利公式是一个用以使特定赌局中，拥有正期望值之重复行为长期增长率最大化的公式；

可用以计算出每次游戏中应投注的资金比例；

可将长期增长率最大化；

此方程式不允许在任何赌局中，有失去全部现有资金的可能，因此有不存在破产疑虑的优点；

方程式假设货币与赌局可无穷分割，而只要资金足够多，在实际应用上不成问题。

公式的一般性陈述为：

其中：

f*为现有资金应进行下次投注的比例；

b为投注可得的赔率（不含本金）；

p为获胜率；

q为落败率，即1-p；

举个例子。

若一赌博有60%的获胜率（p=0.6，q=0.4），而赌客在赢得赌局时，可获得一赔一的赔率（b=1），则赌客应在每次机会中下注现有资金的20%（f*=0.2），以最大化资金的长期增长率。

如果赔率没有优势，即b=q/p，那么公式建议不下注。

如果赔率是负的，即bq/p，公式的结果是负的，也就是暗示应该下注到另外一边。

索普同学拿走这个兵器，就掌握了下注的方法，加上他的必胜系统，横扫美国赌场，结果赚了不少钱，也挨了几顿打。他后来还将凯利公式应用于二十一点和股票市场中。

在与巴菲特的相遇中，据说索普也曾将凯利公式“献宝”。

准确说，凯利公式对赌徒是没用的，只对会计算的投资人有用。

但是赌徒和投资人，难道不都是“概率”女神的追逐者吗？

06

公式里的秘密

首先，如前所述，凯利公式不会让你“反败为胜”。

上帝并不帮助弱者。

其次，每次下注都要根据手头剩余资金的某个比例，调整金额。

这两点容易被人忽略。

凯利公式的推导并不简单，我们可以从公式中发现哪些道理呢？

公式中分子的b×p-q，代表“赢面”，相当于“期望值”。在上面第4段的案例里，说明了即使是小概率（p小于q）的情况下，由于变化的幅度较大（相当于赔率b较大），也可能是正期望值。

你会注意到分母是b，这意味着，假如赢面一样大，赔率越高，你下注比例应该越低。

虽然是简单的计算，还是会把人绕晕，举个例子吧。

有如下三种情况：

a.“小博大”（胜率小，赔率大）：

胜率20%，赔率是5，输了全光。

期望值计算是，b*p-q=5×20%-80%=20%

b.“中博中”（胜率中，赔率中）：

胜率60%，1赔1。

期望值计算是，b*p-q=1×60%-40%=20%

c.“大博小”（胜率大，赔率小）：

胜率80%，1赔0.5。

期望值计算是，b*p-q=0.5×80%-20%=20%

看起来，这三个游戏的期望值一样，都是20%，也就是说赢面一样大，那为什么不选a，以小博大呢？

凯利公式精确地回答了这一点，根据公式，分母是b（赔率），所以上述三种局面，单次下注比例（占总赌本的百分比）应该是：

a=20%÷5=4%

b=20%÷1=20%

a=20%÷0.5=40%

所以，“小博大”游戏只能押总资金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。

假如暴风影音的冯鑫知道如此计算，他就该知道，不管收购看起来多么美好，都应该严格控制自己的下注比例。

07

四种下注系统的实战模拟

押注太大怕炸掉，押注太小怕错过。

凯利的结论是：

赌徒应该像股票或债券投资者一样

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